🕰️ Збій міського годинника
Знайдіть правильну позицію після 29 годин зсуву та доведіть, що повний оберт не змінює результат.
Відкрити практику 1РОЗДІЛ 02 · СУЧАСНІ ШИФРИ
Арифметика по колу
Чому шифри використовують остачу?
Буч отримав загадкову інструкцію: «Поверни стрілку на 17 годин уперед». Але на годиннику лише 12 позначок. Куди потрапить стрілка — і чому так само «обертаються» літери у шифрах?
🎯 Місія: зрозуміти mod, циклічні зсуви та обернення дій, щоб пояснити роботу Цезаря й Віженера.
01. Коли числа ходять по колу
Після 11 на математичному годиннику з позначками 0–11 знову йде 0. Операція mod повертає остачу від ділення: 17 mod 12 = 5, тому що 17 = 12 · 1 + 5. На звичайному годиннику нулю відповідає число 12.
Підказка: додавання або віднімання 12 не змінює позиції на колі.
02. Від годинника до української абетки
В українській абетці 33 літери. Нумеруємо їх від 0 до 32. Після Я знову йде А. Для шифрування: E(x) = (x + k) mod 33. Для розшифрування: D(y) = (y − k) mod 33.
Наприклад: А (0) зі зсувом 3 перетворюється на Г (3). А ключ 36 діє так само, як ключ 3, бо 36 mod 33 = 3.
Мінілабораторія Цезаря
Результат з’явиться тут.
Цезар не забезпечує сучасної секретності: ключів-зсувів для 33-літерної абетки лише 33.
03. Чому дію можна обернути
Якщо ми додали ключ k за модулем n, то можемо відняти той самий ключ: (x + k − k) mod n = x. Навіть якщо проміжне число від’ємне, результат повертаємо в діапазон від 0 до n−1.
(3 − 4) mod 33 = (−1) mod 33 = 32 → Я
Не кожне множення за модулем можна обернути. Наприклад, число 2 не має оберненого множника за mod 12, бо НСД(2, 12) ≠ 1. А додавання зсуву завжди можна скасувати відніманням.
04. Віженер — теж арифметика по колу
Цезар зсуває всі літери на однакове число. Віженер використовує різні зсуви, задані літерами ключового слова. Для кожної позиції: Cᵢ = (Pᵢ + Kᵢ) mod 33.
Пробіли та розділові знаки залишаємо без змін, ключ повторюємо лише на літерах.
Приклад із матеріалу: «АБВ» + ключ «БВГ» → «БГД». Це навчальна модель історичного шифру, а не сучасний захист.
05. Практичні розслідування
Кожна практика — окрема справа з історією, інтерактивним дослідом, підказками та перевіркою. Після виконання поверніться сюди й перейдіть до веббота.
✉️ Кур’єр і загублена літера
Зашифруйте «Я» із ключем 4, а потім поверніть початкову літеру.
Відкрити практику 2🔎 Два способи заховати записку
Порівняйте Цезаря та Віженера: той самий принцип, але різні ключі.
Відкрити практику 3🔐 Повернути секрет
Розшифруйте літеру «Г» із ключем 4 і дослідіть від’ємну остачу.
Відкрити практику 406. Мініпроєкт «Мій шифр по колу»
Створіть власний навчальний шифр: визначте набір символів, ключ, правило шифрування та зворотне правило. Перевірте три літери й випадок переходу через кінець абетки. Поясніть, чому простий зсув легко зламати.
🧩 Місток до криптографії: модульна арифметика допомагає описати обернені перетворення. Але сама по собі не робить шифр надійним.
Перевірити знання у вебботі →